什么是域？如時域、頻域、拉氏域等

“域”本意是指一定范圍內(nèi)的地方，泛指某種范圍。在處理問題時采用不同的角度，稱為域，不同的域能提供不同的特性，如在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，有實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域，實(shí)數(shù)域是由所有實(shí)數(shù)組成的集合，而復(fù)數(shù)域則是由所有形如 a+bi 的復(fù)數(shù)所組成的集合。二者之間有著密切的聯(lián)系和互相依存的關(guān)系。實(shí)數(shù)域可以看作是復(fù)數(shù)域的一個子集，復(fù)數(shù)域可以看作是實(shí)數(shù)域在復(fù)平面上的延伸。在下面，我們要講到的域中，也有這樣的關(guān)系，如拉氏域與傅里葉域。

在信號處理領(lǐng)域，我們經(jīng)常講時域和頻域。在振動噪聲領(lǐng)域，除了時域與頻域之外，還有角度域與階次域和物理空間與模態(tài)空間等域。雖然有的名詞后面帶有“域”字，如時域、頻域，表明它們是一個域，但像物理空間與模態(tài)空間，名詞末沒有“域”字，但它們?nèi)匀槐砻髁艘粋€范圍領(lǐng)域，因此，它們也是一個域。在這里，讓我們來介紹一下時域與頻域、角度域與階次域、拉氏域與傅里葉域、以及物理空間與模態(tài)空間等4對域，并談?wù)勊鼈冎g的內(nèi)在聯(lián)系。

在這4對域中，有些域是真實(shí)存在的，如時域、角度域和物理空間，而有些域是為了方便數(shù)學(xué)處理而定義的域（也稱為數(shù)學(xué)構(gòu)造），如頻域、階次域、拉氏域與傅里葉域、模態(tài)空間等。各對域之間并沒有實(shí)質(zhì)性的不同，僅僅是形式不同而已。從一個域描述或者察看某些信息會比其他的域更容易、更便捷。比如，總的時域響應(yīng)不能確定有多少階模態(tài)對結(jié)構(gòu)的響應(yīng)有貢獻(xiàn)，但是頻域的總的頻響函數(shù)就能清楚地顯示有多少階模態(tài)被激起和每一階模態(tài)對應(yīng)的頻率是多少。另一方面，采用不同的域，在數(shù)學(xué)處理上也存在一些便捷性，如從拉氏域求解零點(diǎn)、極點(diǎn)時就比其他的域更容易。因此，我們經(jīng)常將數(shù)據(jù)從一個域變換到另一個域，僅僅是因?yàn)閿?shù)據(jù)更易于獲得某些必要的信息、或更易于數(shù)學(xué)處理、或更易于解釋某些問題等原因。

01 時域與頻域

我們所處世界中的任何事物都是以時間貫穿其發(fā)展變化全過程的，長的如歷史的演變、時代的變遷，短的如一天股市的走勢、氣溫的變化等等。相同的道理，信號的變化也是隨時間變化的，因此，我們在采集信號的時候，如采集加速度信號，能獲得加速度的大小隨時間的變化曲線，如圖1所示，橫軸為時間，信號的大小隨時間變化，因而，可以說信號是時間的函數(shù)，或者說，我們可以從時間這個角度去跟蹤信號，能獲得信號的大小隨時間變化的特性。因此，我們把從時間這個角度來觀察信號的變化，稱為時域，隨時間變化的信號稱為時域信號。故，時域是指以時間為變量的信號所在的域。

圖1 加速度時域波形

對于頻率單一的正弦波，我們從時域波形上能一眼看出信號的幅值和頻率。如圖2所示，可以看出幅值為1.0V，從0.5s內(nèi)有5個周期，或者從相鄰波峰的時間差的倒數(shù)可以計(jì)算出頻率為10Hz。從0時刻的幅值大?。?.87V）可以推算出初相位為60度，至此，我們已經(jīng)獲得振動的全部三個要素：幅值、頻率和相位。當(dāng)然，對于簡單信號可以獲得這些信息，但要是復(fù)雜的信號，如圖3所示的發(fā)動機(jī)頂部振動信號，從時域波形上得不出這些信息。

如圖2 幅值為1.0V、頻率為10Hz的正弦波

圖3 發(fā)動機(jī)頂部Z向振動

這時，要從采集到的數(shù)字信號中獲得這些信息，就需要用到傅里葉變換了。根據(jù)傅里葉變換理論，任何一個信號都可認(rèn)為是一系列正弦波之和。對于一個單頻正弦波而言，使用傅里葉級數(shù)中的一項(xiàng)（形如 Asin(ωt+φ))）就可以描述了，在頻譜圖中對應(yīng)一條譜線。對信號按恒定的采樣率進(jìn)行采樣，采樣后的信號是有效的數(shù)字化的時域信號x(t) ，類似如圖3所示。如果我們對這個時域信號 x(t)進(jìn)行傅里葉分析，那么，能得到這個時域信號在不同頻率處的頻率分量，如圖4所示，獲得組成時域信號的每個單頻信號的振動三要素（圖4中未給出相位信息）。數(shù)字化后的時域信號是圖中從時域觀測到的信號，對這個時域信號進(jìn)行傅里葉變換，相當(dāng)是對這個時域信號進(jìn)行分解，分解成一系列不同幅值、頻率和相位的正弦波（或余弦波），圖中的時域信號是4個正弦波的組合，每個正弦波使用一條譜線描述，因此，當(dāng)從頻譜圖上觀測時，可以看到，圖示的信號有4條幅值不同的線狀譜，對應(yīng)圖中間的4個正弦波的頻率成分和幅值。

圖4 FFT變換過程示意

通過FFT變換得到的頻譜圖橫軸為頻率，可以看出時域信號中包含的頻率成分、幅值大小和相位信息（有的頻譜不帶相位信息），也就是振動三要素隨頻率變化的特性，此時，我們把從頻率這個角度來觀察信號的這些特性，稱為頻域。

FFT變換的核心思想就是把時域信號分解成一系列不同幅值、頻率和相位的正弦波，因此，正弦函數(shù)是頻域的基函數(shù)，頻譜圖中每條譜線代表一個正弦波，信號變換到頻域并使用正弦波描述，會比僅僅在時域中能更快地得到答案。最簡單的簡諧振動就是正弦波的典型代表。

因此，有人這樣說：我在時域，你在頻域，絕對可基！

你越純（頻率分量單一），他越浪（接近正弦波）！

https://www.zhihu.com/question/53680970/answer/137552159

FFT變換過程完全是可逆的。也就是說，如果有時域信號  ，我們能通過FFT變換得到頻域 x(t)。類似地，如果我們有頻域信號 X(f)，也可以通過IFT（傅里葉逆變換）變換能得到時域信號 x(t)。有時，這個過程可以寫成如下形式

因此，時域信號可變換到頻域，頻域信號也可變換到時域。FFT變換將信號從時域變換到頻域，告訴我們信號具有哪些頻率成分、以及其對應(yīng)的幅值與相位信息。從時域上，我們可以看出信號的大小，但很難獲得信號的頻率成分、每個頻率成分對應(yīng)的幅值和相位，故，從頻域描述或者察看這些信息會比時域更容易、更便捷。圖2所示的時域信號的頻譜如圖5所示，正弦波的初相位為60度，余弦則為-30度。

圖5 圖2所示的頻域結(jié)果

一個單頻正弦波用傅里葉級數(shù)中的一項(xiàng)（一條譜線）就可以描述了。但是對于一些信號，比如矩形脈沖信號，傅里葉級數(shù)要包含很多項(xiàng)，才能近似這個信號，這是因?yàn)榫匦蚊}沖信號不連續(xù)，不像平滑的正弦波。因此，需要多個傅里葉展開項(xiàng)（多條譜線）去近似明顯不連續(xù)的信號?，F(xiàn)實(shí)世界中，一些常見的信號實(shí)例如圖7所示。

圖6 各種不同的時域信號（左）和它對應(yīng)的頻域結(jié)果（右）

對于圖6所示的信號，注意到方波和脈沖信號具有無窮的頻率成分。這兩個信號都有存在不連續(xù)或突然階躍的情況。對于這種突然瞬間改變的信號，它具有無窮的頻率成分，使用有限頻率帶寬的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)是很難重現(xiàn)它們的。在時域描述一個不連續(xù)的信號要求信號有無窮的頻率成分，但實(shí)際情況是不可能采集到無窮的頻率成分。信號采集系統(tǒng)只能采集一定頻率范圍內(nèi)的信號，這將導(dǎo)致出現(xiàn)頻率截?cái)?，頻率截?cái)鄷饡r域信號產(chǎn)生吉布斯現(xiàn)象。圖7用不同數(shù)量的正弦波來描述方波信號，可以看出，隨著正弦波數(shù)量的增加，疊加后的時域信號越來越接近方波信號，吉布斯現(xiàn)象越來越弱，振蕩的幅值越來越小，持續(xù)時間越來越短，信號的斜率越來越陡峭。

圖7 隨著正弦波數(shù)目的增加，信號越接近方波

現(xiàn)實(shí)中，在描述一個時域信號時，經(jīng)常有一些情況會少于理想數(shù)目的頻率成分，這是由于測量系統(tǒng)不可能測量到無窮的頻率帶寬，總會出現(xiàn)頻率截?cái)嘣斐傻?。因此，在對信號進(jìn)行測量時，會因?yàn)轭l率截?cái)喽斐蓵r域上的失真。

除了因頻率截?cái)嘣斐蓵r域上的失真之外，在將時域信號變換到頻域時，會遭受泄漏；而在將頻域信號變換到時域時，會遭受逆泄漏。因此，變換過程中會遭遇一些問題。時域簡潔的信號，如脈沖信號，在頻域頻率成分復(fù)雜。因此，不同的域會展現(xiàn)出信號不同的特征。為了獲得想要的信息，經(jīng)常將信號從一個域變換到另一個域，即使在變換過程中存在這樣或那樣的問題。而從時域變換到頻域是所有變換中最常用的。

02 角度域與階次域

明白了時域，對于理解角度域是非常有幫助的。首先角度域是針對旋轉(zhuǎn)機(jī)械而言的，只有旋轉(zhuǎn)部件才會用到角度域，旋轉(zhuǎn)部件每旋轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，角度增加360度。并且時間與角度是有對應(yīng)關(guān)系的，因此，可以將時域數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到角度域，前提條件是測量了轉(zhuǎn)速信號。時域是真實(shí)存在的，同樣的道理，角度域也是真實(shí)存在的。當(dāng)我們將旋轉(zhuǎn)部件的時域數(shù)據(jù)通過角度與時間的對應(yīng)關(guān)系（轉(zhuǎn)速可提供這個信息）轉(zhuǎn)換到角度這個視角來觀察數(shù)據(jù)，我們稱之為角度域。此時信號是角度的函數(shù)，故，角度域是指以角度為變量的信號所在的域。

通常，時域信號是按等時間采樣的，即采集相鄰兩個數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的時間間隔是固定不變的。對于旋轉(zhuǎn)機(jī)械而言，低轉(zhuǎn)速時旋轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)所用的時間長，高轉(zhuǎn)速時旋轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)所用的時間短。如果按等時間采集旋轉(zhuǎn)機(jī)械的信號，則必然會出現(xiàn)低轉(zhuǎn)速一轉(zhuǎn)采集的數(shù)據(jù)點(diǎn)多，高轉(zhuǎn)速一轉(zhuǎn)采集的數(shù)據(jù)點(diǎn)少，如圖8所示。高轉(zhuǎn)速下每轉(zhuǎn)數(shù)據(jù)點(diǎn)少則包含的信息量少，會對信號處理帶來一系列問題，如信號混疊、泄漏嚴(yán)重造成頻譜拖尾、高階次不清晰等等。而角度域的數(shù)據(jù)則不會有這些問題，這是因?yàn)榻嵌扔虻臄?shù)據(jù)是按等角度采樣的，能保證每轉(zhuǎn)采樣點(diǎn)數(shù)相同，如圖9所示，相當(dāng)于信號具有周期性質(zhì)，從而可獲得清晰的階次譜圖。

圖8 等時間采樣圖

圖9 等角度采樣

為了保證每轉(zhuǎn)采集相同的數(shù)據(jù)點(diǎn)，這要求采樣頻率隨轉(zhuǎn)速變化，以獲得等角度采樣數(shù)據(jù)（也稱為同步數(shù)據(jù)），如圖10所示，加速度信號的橫軸是角度。由于等角度采樣方式的采樣頻率始終與轉(zhuǎn)速同步變化，二者有明確的關(guān)系，或者說采樣頻率與轉(zhuǎn)速是同步的，因此，我們也將等角度采樣稱為同步采樣。即等角度的采樣頻率與轉(zhuǎn)速是同步的。在角度域，當(dāng)每轉(zhuǎn)采集M個數(shù)據(jù)點(diǎn)時，能得到最高階次為M/2。

圖10 角度域的加速度信號

由于等角度采樣能保證每轉(zhuǎn)采集相同的數(shù)據(jù)點(diǎn)，相當(dāng)于信號具有周期性質(zhì)，從而對角度域數(shù)據(jù)進(jìn)行FFT變換時，滿足變換的周期性要求。FFT變換得到的結(jié)果是幅值隨階次變化的函數(shù)，此時信號的橫軸是階次。因此，階次域是指以階次為變量的信號所在的域，如圖11所示?；蛘哒f，階次域是從階次這個角度來查看信號的特征。

圖11 加速度信號的階次域結(jié)果

對于旋轉(zhuǎn)機(jī)械的頻譜分析而言，由于總是存在能量泄漏，導(dǎo)致進(jìn)行階次切片時，需要考慮一定的寬度，并且階次越高，考慮的階次寬度應(yīng)越寬。而對于階次域而言，階次切片時只需要考慮階次這一條譜線即可，無須考慮一定的階次寬度，這是因?yàn)殡A次譜不存在泄漏。這就體現(xiàn)了階次譜的一個好處，即階次譜中階次提取的RMS值僅是一條階次線，而如果頻譜分析僅讀取階次頻率對應(yīng)的RMS值將導(dǎo)致階次切片存在極大的誤差。

對于普通的信號頻譜分析而言，共振特性通常是我們常關(guān)心的，那么這個時候應(yīng)該采用等時間采樣，即使關(guān)心階次，但在關(guān)心的階次不高的情況下，仍可以使用等時間采樣方式進(jìn)行信號處理。由于等時間采樣的信號處理在高階次能量泄漏嚴(yán)重，泄漏的頻率寬度正比例于階次，因此，階次越高，泄漏到鄰近的譜線越多，頻率越寬，將導(dǎo)致高階次模糊不清，不能很好地區(qū)別出這些階次成分，對于故障診斷是非常不利的，那么，這個時候應(yīng)該使用等角度采樣。另外，如果僅僅只關(guān)心階次成分，不關(guān)心共振特性，建議使用等角度采樣。

頻譜分析在低轉(zhuǎn)速時階次分辨能力差，而階次譜即使是轉(zhuǎn)速改變速率快的情況下，低階次也有很好的分辨能力。階次譜對于分辨階次功能是非常強(qiáng)大的，哪怕是高階次，但對于分辨共振，作用有限，從階次譜中很難直接識別出共振信息。而頻譜分析對于共振問題非常有效。因此，對于共振問題的分析還是基于等時間采樣的頻譜分析。

03 拉氏域與傅里葉域

首先，要聲明的是拉氏域與傅里葉域不是一對域，一對域是指二者之間能相互變換。而在這里，把它們放在一起，是因?yàn)槎呤前c被包含關(guān)系，即傅里葉域是拉氏域的子集。而它們都與時域是一對域，如從時域通過拉氏變換變換到拉氏域。

我們知道模態(tài)分析有兩個方法：有限元法和試驗(yàn)法。有限元法采用特征值求解，求得模態(tài)參數(shù)，在這個過程中則用到拉普拉斯變換；而試驗(yàn)法計(jì)算頻響函數(shù)，利用曲線擬合得到模態(tài)參數(shù)，在這個過程中則用到傅里葉變換。

有限元法利用有限元模型（FEM）近似彈簧-集中質(zhì)量系統(tǒng)表征的物理系統(tǒng)。根據(jù)每個質(zhì)量單元的力平衡，利用牛頓第二定律，我們可以寫出每個質(zhì)量（或自由度）的平衡方程去近似這個系統(tǒng)。因?yàn)橛邢拊枰褂迷S多微單元去描述系統(tǒng)，那么就會存在多個方程和多個未知數(shù)。這樣，使用矩陣描述所有的這些方程會變得很方便。一旦組裝完所有方程，使用特征值求解，求得系統(tǒng)的頻率和模態(tài)振型。不涉及具體細(xì)節(jié)，讓我們大致描述這個過程，求解過程中需要將這些方程通過拉普拉斯變換（簡稱拉氏變換）到拉普拉斯域，簡稱拉氏域。將方程變換到拉氏域僅僅是因?yàn)樵诶嫌蚍匠谈子谔幚怼Ｔ诶嫌?，得到系統(tǒng)矩陣 [B(s)] 和它的逆矩陣 [H(s)] ，稱為系統(tǒng)傳遞函數(shù)。我們知道這個逆矩陣等于系統(tǒng)矩陣的伴隨矩陣（或者是系統(tǒng)矩陣的代數(shù)余子式）除以系統(tǒng)矩陣的行列式。利用拉氏變換是個了不起的處理！因?yàn)檫@個伴隨矩陣包含模態(tài)向量，我們稱它為留數(shù)矩陣，矩陣 [B(s)]的行列式包含方程的根，或者稱為系統(tǒng)極點(diǎn)。這些基本信息與從分析模型中得到的相同。因此我們可以由分析模型或者由拉氏域描述方法確定系統(tǒng)的動力學(xué)特性，兩者得到的結(jié)果相同。整個拉氏變換過程示意如圖12中的頂部所示。

圖12 拉氏變換與傅里葉變換示意圖

通過拉氏變換得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，讓我以部分分式的形式寫出

對于欠阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的根或者極點(diǎn)可以寫成

因?yàn)閭鬟f函數(shù)是復(fù)值函數(shù)，所以函數(shù)的根將是兩個變量 σ 和 ω 的函數(shù)， σ 稱為阻尼因子， ω  是頻率，這兩個變量分別為這個根的實(shí)部和虛部，也就是說復(fù)值變量 s 包含實(shí)部  σ（阻尼軸）和虛部 jω （頻率軸）。復(fù)值函數(shù)可以用幅值與相位，或?qū)嵅颗c虛部來描述。注意到這兩個根為復(fù)數(shù)，因此傳遞函數(shù)的自變量取值為整個復(fù)平面。當(dāng)我們從整個復(fù)平面（實(shí)部 σ 和虛部 jω ）角度來查看傳遞函數(shù)時，我們稱這個域?yàn)?strong>拉氏域。之所以稱為拉氏域是因?yàn)樽儞Q得到傳遞函數(shù)的方法是拉氏變換。

由于變量 s包含兩個變量 σ 和 ω，因此，由實(shí)部 σ 和虛部 ω 組成的平面稱為s-平面，如圖13所示。經(jīng)常用s-平面圖表征根的位置，是根據(jù)實(shí)部（阻尼）和虛部（頻率）來繪制的。對于固定的質(zhì)量和剛度，阻尼增加，那么極點(diǎn)將移動到j(luò)ω軸的左側(cè)，有阻尼固有頻率將減小。隨著阻尼的增加，極點(diǎn)將在s-平面映射出一個圓形軌跡。隨著阻尼接近臨界阻尼，根和它的共軛接近 σ 軸。從原點(diǎn)到極點(diǎn)的向量長度（圓的半徑）表示固有頻率。

現(xiàn)在，讓我們在復(fù)平面上繪出傳遞函數(shù)所對應(yīng)的曲線圖，該圖將映射成一個曲面，因?yàn)楹瘮?shù)是通過兩個獨(dú)立變量 σ  和 ω 定義的。因此， 如果我們保持  σ 不變，變化  ω ，然后逐漸改變 σ ，重新計(jì)算 ω 的范圍，這時將產(chǎn)生一個復(fù)數(shù)值曲面。因?yàn)檫@些數(shù)值是復(fù)數(shù)，我們可以分別繪出它們的實(shí)部和虛部圖，當(dāng)然也可以繪出函數(shù)的幅值和相位圖。用這4種形式來繪制這個曲面，用于描述系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，如圖14所示。

圖14 系統(tǒng)傳遞函數(shù)

在復(fù)平面上，如果我們考慮在 s=0 時估計(jì)傳遞函數(shù)，也就是說傳遞函數(shù)沿頻率 jω 軸估計(jì)，我們能得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)的切片——頻響函數(shù)。此時，變量 s 僅取純虛數(shù)  jω  ，我們可以寫出頻響函數(shù)的表達(dá)式

如果我們對比傳遞函數(shù)和頻響函數(shù)的表達(dá)式，會發(fā)現(xiàn)在傳遞函數(shù)中獨(dú)立變量是  s（包含實(shí)部 σ 和虛部 jω ），而頻響函數(shù)的獨(dú)立變量是 jω ，函數(shù) h 的值依賴于變量 jω 。如果我們考慮系統(tǒng)傳遞函數(shù)沿 jω 軸估計(jì)的幅值，并且將其投影到沿 jω 軸的切片平面上，那么我們將看到如圖15所示的投影切片（黑色曲線）。而這正好是我們用FFT分析儀測量得到的曲線：頻響函數(shù)。并且我們可以看出，這只有一個獨(dú)立變量 jω 用于描述頻響函數(shù)。同時，我們也注意到我們僅用一條曲線，而不是一個曲面來描述系統(tǒng)的頻響函數(shù)。

圖15 系統(tǒng)傳遞函數(shù)（幅值）和頻響函數(shù)(黑色曲線)

至此，我們已經(jīng)明白了頻響函數(shù)由何而來，因此我們說頻響函數(shù)是傳遞函數(shù)的子集，是傳遞函數(shù)沿頻率軸的估計(jì)。傳遞函數(shù)的自變量是整個復(fù)平面，也就是拉氏域，而頻響函數(shù)的自變量僅是虛軸，也就是沿頻率軸變化，對應(yīng)的是傅里葉域。因此，傅里葉域是拉氏域的一個子集，是實(shí)部為0的拉氏域，如圖16所示。在傅里葉域，我們從僅復(fù)值頻率變量來查看頻響函數(shù)。

圖16 拉氏域和傅里葉域

將時域信號通過傅里葉變換變換到頻域，得到橫軸為頻率的信號。同樣，在測量頻響函數(shù)時，也是通過傅里葉變換，由響應(yīng)與激勵計(jì)算出頻響函數(shù)，只是，此時頻響函數(shù)的橫軸也是頻率，而不是復(fù)值頻率。這是因?yàn)榻馕龇ɑ蚶献儞Q得到傳遞函數(shù)是關(guān)于實(shí)軸（虛部為0）對稱的，系統(tǒng)根也是一對共軛的復(fù)根，但對于頻率而言，負(fù)值頻率沒有意義，因此，我們只關(guān)心正值頻率，也就是從實(shí)頻率軸上查看頻響函數(shù)，而不是復(fù)頻率軸。而在復(fù)平面上，整個傅里葉域是虛軸 jω ，這是由傳遞函數(shù)推導(dǎo)出頻響函數(shù)時，變量取值為虛軸，因此，這個虛軸稱為傅里葉域。但實(shí)際測量頻響函數(shù)時，看的是頻域，而不是虛軸的傅里葉域。

最后，我們來總結(jié)一下，拉氏域、傅里葉域和s-平面的關(guān)系。將拉氏域的系統(tǒng)傳遞函數(shù)沿虛軸（實(shí)部為0）的切片得到傅里葉域的頻響函數(shù)。如果我們將系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)位置向下投影，則可查看s-平面。這個過程如圖17所示。這個圖說明了系統(tǒng)傳遞函數(shù)、頻響函數(shù)和s-平面的內(nèi)在關(guān)系。圖中給出頻響函數(shù)的正部分和負(fù)部分，但通常只展示頻率的正部分。因此，得到的是頻域的頻響函數(shù)。

圖17 拉氏域，s-平面和傅里葉域

04 物理空間與模態(tài)空間

物理空間是指我們生活中的現(xiàn)實(shí)世界，而模態(tài)空間是指用模態(tài)來表征的模態(tài)坐標(biāo)空間。從數(shù)學(xué)角度上講，對物理空間上的運(yùn)動方程通過特征值求解和模態(tài)變換方程，將這組物理空間上耦合的方程進(jìn)行解耦，解耦后的方程為一組單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動方程，此時轉(zhuǎn)換后的新坐標(biāo)系統(tǒng)，稱為模態(tài)空間。

物理空間的結(jié)構(gòu)可以用解析的集中質(zhì)量模型或者有限元模型（如圖18中頂部）來估算。這個模型通常用方程組進(jìn)行估算，這些方程在一些不同的位置或不同自由度（DOF）之間存在相互作用或者耦合。這意味著如果你推動模型中的某一個自由度，那么其他自由度也會受到影響，并且產(chǎn)生運(yùn)動。為了確定系統(tǒng)的響應(yīng)行為，這些耦合意味著這些方程更為復(fù)雜。隨著描述系統(tǒng)的方程數(shù)目變得越來越大，那么方程的復(fù)雜程度也就越來越高。通常在物理空間將描述系統(tǒng)特征的運(yùn)動方程組用矩陣形式表示為

這里 [M] ， [C]  和  [K]  分別表示物理空間真實(shí)存在的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，連同相應(yīng)的加速度向量、速度向量和位移向量以及外力向量一起組成運(yùn)動方程。通常質(zhì)量矩陣是對角陣，阻尼和剛度矩陣是帶有非對角元素的對稱陣，這些非對角元素表明了描述系統(tǒng)的不同方程或不同自由度之間的耦合程度，矩陣的大小由描述系統(tǒng)的方程總數(shù)決定。從數(shù)學(xué)角度講，通過特征值求解和模態(tài)變換方程，將這組耦合的方程進(jìn)行解耦，解耦后的方程為一組單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動方程，此時轉(zhuǎn)換后的新坐標(biāo)系統(tǒng)，稱為模態(tài)空間，解耦后的模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼和模態(tài)剛度矩陣全為對角陣，如：

此時，模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼 和模態(tài)剛度 都是模態(tài)空間的物理量，而非物理空間。因此，我們可以看出模態(tài)轉(zhuǎn)換是將方程從物理空間通過模態(tài)轉(zhuǎn)換方程轉(zhuǎn)換到模態(tài)空間的過程；是將一組復(fù)雜的、耦合的物理方程轉(zhuǎn)換成一組解耦的單自由度系統(tǒng)的過程。因而，我們可以將圖中的分析模型分解成一組單自由度系統(tǒng)，如圖18中所示的藍(lán)色1階、紅色2階和綠色3階。模態(tài)空間使得我們更易于用單自由度系統(tǒng)去描述結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

圖18 物理空間和模態(tài)空間

在物理空間上任一位置測量得到的響應(yīng)實(shí)際上是當(dāng)前結(jié)構(gòu)所受的激勵力所激起來的模態(tài)空間中的各階模態(tài)在當(dāng)前測量位置產(chǎn)生的響應(yīng)的疊加。

05 各域之間的內(nèi)在聯(lián)系

讓我們從一個簡單的解釋開始著手，不涉及太多的數(shù)學(xué)知識，用一個簡單的示意圖（圖19）來解釋。用這個圖討論時域、頻域、拉氏域、傅里葉域、模態(tài)空間和物理空間之間的內(nèi)在聯(lián)系。

圖19 每階模態(tài)的物理模型、時域響應(yīng)、FRF和SDOF模型

首先，讓我們假設(shè)在懸臂梁的自由端受到一個脈沖激勵。梁自由端的響應(yīng)將包含系統(tǒng)所有模態(tài)的響應(yīng)（圖中用黑色表示時域響應(yīng)），注意到這個響應(yīng)是在一些不同頻率處的響應(yīng)。通過傅里葉變換，將梁自由端的時域響應(yīng)從時域變換到頻域。時域信號（包含輸入和輸出）變換到頻域，其頻域是頻響函數(shù)FRF（圖中用黑色繪出了頻響函數(shù)），F(xiàn)RF的峰值對應(yīng)于系統(tǒng)的固有頻率。

在進(jìn)一步討論時域和頻域圖形之前，先說說圖19左上角的物理模型。我們知道懸臂梁有許多階固有頻率，在每一階固有頻率處，結(jié)構(gòu)都將以一種確定的模式發(fā)生變形，這種變形稱作模態(tài)振型。對于這根梁的分析模型，我們可以通過拉氏變換得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，然后特征值求解得到圖中藍(lán)色的第1階彎曲模態(tài)，紅色的第2階彎曲模態(tài)，綠色的第3階彎曲模態(tài)。當(dāng)然，還有其他高階模態(tài)沒有給出，在這我們僅僅討論前三階模態(tài)，并且從前三階模態(tài)可以很容易地延伸到高階模態(tài)。

對這根梁進(jìn)行實(shí)測，在圖中用黑色表示時域和頻域響應(yīng)，也能提取到各階模態(tài)。我們知道系統(tǒng)總響應(yīng)來自各階模態(tài)的貢獻(xiàn)，圖中黑色表示的總響應(yīng)由1階、2階和3階模態(tài)的響應(yīng)組成。不管是在時域還是頻域描述系統(tǒng)，這個結(jié)論總是成立的。每個域都是等價的，僅僅是從不同的角度去描述數(shù)據(jù)而已。所以我們可以看出系統(tǒng)總的時域響應(yīng)是由各階模態(tài)的時域響應(yīng)所組成，即由1階、2階和3階模態(tài)的時域響應(yīng)貢獻(xiàn)所組成。同樣，系統(tǒng)總的頻響函數(shù)也是由各階模態(tài)的頻響函數(shù)組成，即由1階、2階和3階的頻響函數(shù)組成（在這，僅僅給出了頻響函數(shù)的幅值部分）。

既然我們可以將分析模型通過拉氏變換、特征值求解分解成一組單自由度系統(tǒng)，因而我們可以確定每個單自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)，如圖所示的1階、2階和3階模態(tài)的頻響函數(shù)。同樣，也可以通過特解確定由脈沖引起的每個單自由度系統(tǒng)的時域響應(yīng)，或由每個單自由度系統(tǒng)的FRF的傅里葉逆變換得到其時域響應(yīng)。我們也可以在梁的自由端測量由脈沖引起的總響應(yīng)，然后濾波得到系統(tǒng)每階模態(tài)的時域響應(yīng)，如1階、2階和3階模態(tài)。

可以看出，可輕易地將每個單自由度的響應(yīng)從時域變換到頻域和從頻域變換到時域。我們也可以看出，物理空間的物理模型可根據(jù)它在模態(tài)空間的模態(tài)來描述，這些模態(tài)是第1階模態(tài)、第2階模態(tài)和第3階模態(tài)等等。如果我們能制作一個系統(tǒng)的分析模型，那么，我們能將物理空間耦合的系統(tǒng)分解到模態(tài)空間，變成一組單自由度模態(tài)振子。注意到，所有的時域-頻域-模態(tài)空間信息是相互關(guān)聯(lián)的。

通常我們在時域測量信號或在物理空間表征基本運(yùn)動方程組，時域信號通過傅里葉變換到頻域，頻域通過傅里葉逆變換到時域。頻域僅僅是隨頻率變化，是從實(shí)數(shù)的角度來考慮的。而傅里葉域是從復(fù)數(shù)的角度來考慮的，頻率軸是以  為變量，注意是復(fù)數(shù)  與頻率  的乘積，而頻域僅考慮頻率  。物理空間的運(yùn)動方程組通過拉普拉斯變換到拉氏域，拉氏域通過拉氏逆變換到時域。而傅里葉域只是拉氏域的一個子集，當(dāng)我們想由頻響函數(shù)獲得模態(tài)參數(shù)時，需要對頻響函數(shù)進(jìn)行曲線擬合得到模態(tài)參數(shù)：極點(diǎn)和留數(shù)，那么此時實(shí)際上是從頻域變換（曲線擬合）到拉氏域。另一方面，時域用于表征發(fā)生的事件，在頻域能表征事件的周期特點(diǎn)，而拉氏域用極點(diǎn)和留數(shù)來描述系統(tǒng)，三者的關(guān)系如圖20所示。

圖20 三個域之間的關(guān)系

以上各種域或空間：時域與頻域、角度域與階次域、拉氏域與傅立葉域、模態(tài)空間和物理空間并沒有實(shí)質(zhì)性的不同，僅僅是形式不同而已。每個域都是等價的，僅僅是從不同的角度去描述數(shù)據(jù)而已。如同貨幣一樣，從一個國家到另一個國家，每個國家的貨幣看起來不相同，但是它們實(shí)質(zhì)是同一個東西。然而，有時從一個域察看某些信息會比其他的域更容易、更便捷。比如，總的時域響應(yīng)不能確定有多少階模態(tài)對結(jié)構(gòu)的響應(yīng)有貢獻(xiàn)，但是頻域的總的頻響函數(shù)就能清楚地顯示有多少階模態(tài)被激起和每一階模態(tài)對應(yīng)的頻率是多少。因此，我們經(jīng)常將數(shù)據(jù)從一個域變換到另一個域，僅僅是因?yàn)閿?shù)據(jù)更易于解釋某些問題或更便于數(shù)學(xué)求解，如對分析模型進(jìn)行拉氏變換求解系統(tǒng)極點(diǎn)。

參考：

1.譚祥軍.  從這里學(xué)NVH——噪聲、振動、模態(tài)分析的入門與進(jìn)階（第二版），機(jī)械工業(yè)出版社，2021

2.Peter Avitabile. Modal Space – In Our Own Little World, 2014

3.譚祥軍.  從這里學(xué)NVH——旋轉(zhuǎn)機(jī)械NVH分析與TPA分析，機(jī)械工業(yè)出版社，2021

4.譚祥軍.  模態(tài)試驗(yàn)實(shí)用技術(shù)——實(shí)踐者指南，機(jī)械工業(yè)出版社，2019

本文轉(zhuǎn)載自微信公眾號文章 什么是域？如時域、頻域、拉氏域等   by 譚祥軍  模態(tài)空間

原文鏈接：https://mp.weixin.qq.com/s/FOfVBYy_iMLnRNWA3c_J1A